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一课研究之“综合难度模型在数学试卷评价中的改进”(20190307)

归档日期:05-13       文本归类:反向推理      文章编辑:爱尚语录

  原标题:一课研究之“综合难度模型在数学试卷评价中的改进”(20190307)

  大家好!我是来自绍兴市新昌县实验小学的张银儿,是朱乐平名师工作站第7组的成员。很高兴能与你在一课研究的微信平台相遇!

  2018年末,教育部印发了号称史上最严减负令《中小学生减负措施》。在全民教育焦虑的当下,“考试”、“分数”等敏感词是被社会密切关注的。而科学地评价试题,不仅响应了国家“减负”的号召,有助于一线教师和学生把握考试趋势,免于陷入题海战术,也能帮助出题人明确命题方向,保证出卷质量。本文共分为三个部分:一、介绍综合难度模型;二、根据数学试卷的特征,对原有模型进行调整,得到试卷综合难度模型;三、试卷综合难度评价模型的应用以及得到的结论。由于篇幅的限制,本文只针对前两个部分进行阐述。

  2001年,Nohara在一份提交给美国国家教育统计中心的工作报告中,首次提出了总体难度(Overall difficulty)的概念。2002年,针对用平均难度评价数学试题难度水平的不足,鲍建生等人对Nohara的总体难度作了调整,得到了综合难度模型。鲍建生确定了综合难度模型的五个难度因素,即:探究、背景、运算、推理、知识含量。并将每个难度因素分别划分为如下几个水平,见表1.

  综合难度模型在因素分析的基础上,用加权平均的方法对每个因素给出一个量化的指标,进而得到一个刻画综合难度的五边形直观模型。具体分三步[1]:

  第一步,鉴定试题的五个维度的难度水平,并进行等级变量的自然赋值(即从低到高按照自然数1,2,3……进行赋值)。

  第三步,根据di绘制综合难度的五边形模型,见图1,并根据雷达图分析综合水平和难度特征。

  综合难度模型是一种利用等级权重来测量和统计难度的方法,该方法在比较教育研究中发挥着重要作用。该方法在教材的比较方面应用的比较多,但在考试试题的比较研究中还很少出现。[2]一般来说,教材关注探究、背景和呈现方式,目的是让学生体会数学思想,理解数学知识,侧重理解;考试试题关注问题背景、运算、推理、知识含量和数学思维,目的是让学生运用数学思维解决问题,考察学生应用数学的综合能力,侧重应用。

  针对上述区别,本文将对综合难度模型进行调整,使其更加符合中小学数学试卷考察的特点,进而得到一个比较准确的综合难度系数。既能帮助命题者把握命题方向,确保命题质量;也能帮助一线教师明晰考试趋势,对数学试卷有一个相对科学的合理认识。

  《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出,课程目标是初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会……养成良好的数学思维习惯不仅是学好数学的重要因素,同时也为其他学科的学习打下了良好的基础。[3]中小学数学考试的命题,也越来越注重对数学思维的考察。在具体的解题过程中,抽象的数学思维很大程度体现在解题时的推理方向上。因此,在原有的5个维度的基础上再加入1个新维度——“推理方向”维度。

  从“探究”维度看,试题可以划分为3个水平,即识记型问题、理解型问题、探究型问题。

  (1) 识记型问题。不需要理解,直接回忆知识,就能解决的问题。例:口算题。

  (2) 理解型问题。在理解知识的基础上,需要通过组织所学知识,才能解决的问题。例:数学中相近的概念的辨别、定律的应用。

  (3) 探究型问题。属于分析水平和评价水平的问题。例:规律型问题、实验操作题、存在型问题、动态问题。

  从“背景”维度看,本文将试题分为无背景、生活与公共常识背景、科学背景。[4]笔者通过查阅文献资料,发现“科学背景”一词尚未被明确定义。目前,较为完整的解释是,科学背景指某些历史名题或科学家尤其是数学家研究成果的背景。[5]因此,本文将数学中如排列组合中的鸽巢原理、几何背景下等数学题都划分到“科学背景”水平中。

  从“运算”维度看,根据运算的类型,试题可以分为:无运算、数值运算、符号运算。

  (3) 符号运算。需要设未知数或题目里含有用符号(或图形、字母……)表示数字的数学题。例:解方程。

  推理,是由一个或几个已知的前提推出结论的过程。从“推理”维度看,试题根据推理的步骤,分为无推理、一步推理、两步推理……

  从“知识含量”维度看,试题根据所含的知识点数量,分为一个知识点、两个知识点……

  从“推理方向”看,可以分为正向推理、逆向推理(反向推理)、混合推理和双向推理。

  (4)双向推理。正向推理与逆向推理同时进行,且在推理过程中的某一步骤上“碰头“的一种推理。

  得到每个维度的量化指标之前,需要对各个维度的不同难度水平进行自然赋值,详见表2.

  思维导图是一种是一种将思维形象化的方法,它简单有效,是表达发散思维的有效图形思维工具。因此,本文借鉴思维导图的规则——用连线来建立主题之间的联系,来确定出一种能较快地同时鉴定出“运算”、“推理”和“知识含量”三个维度的难度水平的方法。具体步骤如下:

  第二步,判断本题是否为无推理的题目。若是不需要推理的题目,对照表2得“推理”维度的难度值d=1,接着直接判断出剩下几个维度的难度水平,输出试题各个维度的难度值;若是推理的题目,转第三步。

  其中,主题的数量,就是题目所用到的知识点数量。图中的最大序号(即箭头的数量)在一定程度上可以反映推理步骤的多少,因此作为衡量推理步骤的多少的依据,并根据最大序号值对“推理”维度的难度水平进行自然赋值,流程见图2.

  本文将借助例题,向大家展示如何利用这种方法,来鉴定这3个维度的难度水平。

  【例题】纺织厂去年有职工630人,其中男工人人数是女工人人数的20%,今年又招进一批男工人,这时男、女工人人数的比3:7,今年招进男工人多少人?

  解析 本题是关于数和数的运算、比和比例的试题。根据题目信息,确定出相关联的知识点有:数的互化,比的意义和性质;接着获取解题思路,数的互化得到原来男、女工人人数比,进而得出去年男工人、女工人的人数,今年女工人人数不变,接着根据女工人人数和男、女工人人数比,求出今年男工人人数,最后通过招进前后男工人人数的差值,即为今年招进的男工人人数。具体见图3.

  分析图3,发现解决例题需要利用数值计算,历经7步推理,3个知识点。另外,例题是从已知到未知逻辑顺序去思考的,这种推理方向属于正向推理。对照表2,得到例题综合难度的评价。见表3.

  对试卷的综合难度的评价,是从六个维度进行分析。通过鉴定出一张试卷上所有试题的难度水平,接着统计数据,整理出属于同一维度同一水平下得试题数量,最后用公式进行加权平均,得到了试卷在不同维度的难度系数,最后构建出试卷的综合难度模型。具体步骤如下:

  第一步,鉴定试卷上每一道试题在不同维度所处的难度水平,对照表2予以赋值。具体方法参考对例题综合难度的分析。

  第二步,对上一步中所有试题的难度水平赋值数据进行整理,统计出同一维度下,不同难度水平的试题数量。

  第四步,根据难度系数绘制综合难度的六边形模型,见图4,并根据雷达图分析综合水平和难度特征。

  运用上述模型,可以得到一套试卷的综合难度模型,对该套试卷的综合难度有一个整体的把握。也可以选取多套试卷为研究对象,对试卷进行横向、纵向比较,进而分析出不同地区(学校)的试卷的综合难度的差异、同一地区(学校)历年试卷的综合难度差异。

  [1]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望,2002,31(09):48-52.

  [2]张怡,武小鹏.基于综合难度系数模型的新高考数学试题评价研究——以2014和2015年高考理科数学全国Ⅱ卷为例[J].黔南民族师范学院学报,2016,36(03):109-113+119.

  [3]曾歆,刘海峰,冯智源.良好数学思维习惯养成在数学学习中的重要性[J].课程教育研究,2014(10):141-142.

  [4]史宁中,孔凡哲,严家丽,崔英梅.十国高中数学教材的若干比较研究及启示[J].外国教育研究,2015,42(10):106-116.

  把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学,结果水果糖剩1块,巧克力剩3块。求这个组最多有几位同学

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